A Smooth (differentiable) Max Function
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Q：想到一个点，既然多分类下的 hinge loss 可以用 differentiable 的 trick 推出 softmax，那 ranking 问题是不是也可以用 hinge loss 去做 pair-wise 的 loss function? 是不是也可以用 differentiable 的手段推出某种 loss。
A：triplet就是pair-wise版的 hinge loss；softmax的pair-wise版叫 Neighbourhood components analysis
LogSumExp函数的导数恰好为softmax函数：
这里出现了一个经典的歧义，softmax实际上并不是max函数的smooth版，而是one-hot向量（最大值为1，其他为0）的smooth版。其实从输出上来看也很明显，softmax的输出是个向量，而max函数的输出是一个数值，不可能直接用softmax来取代max。max函数真正的smooth版本是LogSumExp函数.
经过这一变换，给予非目标分数的1的梯度将会通过LogSumExp函数传播给所有的非目标分数，各个非目标分数得到的梯度是通过softmax函数进行分配的，较大的非目标分数会得到更大的梯度使其更快地下降。这些非目标分数的梯度总和为1，目标分数得到的梯度为-1，总和为0，绝对值和为2，这样我们就有效地限制住了梯度的总幅度。
这个就是大家所熟知的softmax交叉熵损失函数了。在经过两步smooth化之后，我们将一个难以收敛的函数逐步改造成了softmax交叉熵损失函数，解决了原始的目标函数难以优化的问题。从这个推导过程中我们可以看出smooth化不仅可以让优化更畅通，而且还变相地在类间引入了一定的间隔，从而提升了泛化性能。
在最优化问题中，求一个函数的最大值或最小值，最直接的方法是求导，然后比较各阶极值的大小。然而，我们所要优化的函数往往不一定可导，比如函数中含有最大值函数 max( x, y) 的。这时候就得求助于其他思路了。有一个很巧妙的思路是，将这些不可导函数用一个可导的函数来近似它，从而我们用求极值的方法来求出它近似的最优值。本文的任务，就是探究一个简单而有用的函数，它能够作为最大值函数的近似，并且具有多阶导数。
在数学分析中，笔者已经学习过一个关于最大值函数的公式，即当x≥0,y≥0 时，我们有:
Max(x,y) = 1 / 2 * ( | x + y | + | x − y | )
那么，为了寻求一个最大值的函数，我们首先可以考虑寻找一个能够近似表示绝对值 | x | 的函数，这样我们就把问题从二维降低到一维了。那么，哪个函数可以使用呢？
直接观察挺难发现哪个函数可以使用的，我们将问题逐步向简单推进。我们对 f(x)=|x| 求导，除了 x = 0 这一点外，其他都可以顺利求导。
f′(x)= 1, x > 0
f′(x)= −1 x < 0
这是一个简单的分段函数，在物理中，这类函数十分常见，跟它最接近的，应该是单位阶跃函数θ(x)：
θ(x) = 1, x > 0
θ(x) = 0 x < 0
那么
f′(x) = 2 * θ(x) − 1
下面只需要寻求 θ(x) 的近似函数，物理学家已经提供现成的函数给我们了，一个比较简单的形式是:
\theta(x)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{1+e^{-k x}}\
那么我们就可以取 作为近似函数了，代入(4) 式得到 ，积分得到
\begin{aligned}f(x)&=\frac{2}{k}\ln(1+e^{kx})-x\\ &=\frac{1}{k}\left[\ln(1+e^{kx})+\ln(1+e^{-kx})\right]\\ &=\frac{1}{k}\ln(2+e^{kx}+e^{-kx})\end{aligned}\
不难发现，(6) 式中的对数部分，在 k 足够大的时候，常数 2 的影响微乎其微，把它去掉之后，我们有一个比较简单的绝对值函数：
|x|=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{k}\ln(e^{kx}+e^{-kx})\
结合 (7) 式和 (1) 式，我们就得到
\max(x,y)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{2k}\left\{\ln[e^{k(x+y)}+e^{-k(x+y)}]+\ln[e^{k(x-y)}+e^{-k(x-y)}]\right\}\
(8) 式还可以再化简，我们得到
\max(x,y)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{2k}\ln(e^{2kx}+e^{-2kx}+e^{2ky}+e^{-2ky})\
并且由于 (1) 式是在 x≥0,y≥0 时成立的，所以(9)式中的 e−2kx 和 e−2ky 均变得不重要了，我们也把它们去掉，进一步得到
\max(x,y)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{2k}\ln(e^{2kx}+e^{2ky})\
或者写成
\max(x,y)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{k}\ln(e^{kx}+e^{ky})\
(11) 式正是我们希望得到的理想的最大值函数。虽然我们的推导基于 x ≥ 0, y ≥ 0，但是不难发现，对于x,y 中出现负数时，上述公式仍然成立！它甚至还可以推广到多个变量的最大值函数：
\max(x,y,z,\dots)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{k}\ln(e^{kx}+e^{ky}+e^{kz}+\dots)\
关于 (11) 式更多的展示，请阅读Matrix67的《如何构造一个平滑的最大值函数》： http://www.matrix67.com/blog/archives/2830 观察 (11) 式的结构可以看出，这实际上是做了这样的一个事情：找一个在整个实数域上都单调递增的函数，而且增长速度要快于线性增长，然后求和，最后取逆函数。因此，不难构造出类似的函数：我们选 ，那么得到
\max(x,y)=\lim_{k\to+\infty} \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}+y^{2k+1}}\
当然，(13) 的精度（或者说收敛速度）远没有 (11) 那么好，要提高精度也不难，比如
\max(x,y)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{k}\ln\ln\left(e^{e^{kx}}+e^{e^{ky}}\right)\
综合精度和简洁两方面考虑，估计最优的选择就是 (11) 了。
LogSumExp函数值是大于等于max函数值的，而且等于取到的条件也是非常苛刻的，所以使用LogSumExp函数相当于变相地加了一定的 。但这往往还是不够的，我们可以选择跟hinge loss一样添加一个 ，那样效果应该也会不错，不过softmax交叉熵损失走的是另一条路：继续smooth。
注意到ReLU函数 也有一个smooth版，即softplus函数 。使用softplus函数之后，即使 超过了LogSumExp函数，仍会得到一点点梯度让 继续上升，这样其实也是变相地又增加了一点 ，使得泛化性能有了一定的保障。替换之后就可以得到：
